小亮：小杨呀，考你个问题。
小杨：我不听，我不听，我不听。
小亮：非常有意思的，你听听。你说如果给你一个计算器，但只能算加法，那你减法该怎么办呀？
小杨：这么神奇的吗，你难道有方法？
小亮：其实原理很简单的，日常生活中我们其实一直都有用到的，你看一下现在闹钟几点了？
小杨：8 点！
小亮：那 3 小时前是几点呢？
小杨：8 - 3 = 5，5 点！
小亮：那 9 小时以后呢？
小杨：嗯嗯，你等等，一五得五，二五一十，五一劳动节，8 + 9 - 12 = 5，还是 5 点！
小亮：你为什么减去了一个 12 呀？
小杨：小学老师这样教我的呀，至于为什么？Emmmm，因为总共只有 12 个数呀！
小亮：就是这里，你完成了一个伟大的操作！模运算。你进行了模 12 操作，还有一个关键点，总共只有 12 个数！
小杨：我是不是很厉害，嘻嘻嘻，但是…然后呢？
小亮：你想一想，8 - 3 和 8 + 9 的结果是一样的，而最开始我给你的计算器只能进行加法操作，所以再进一步，把 8 - 3 当做 8 + （- 3），它和 8 + 9 的结果一致，所以…
小杨：所以我们用 9 去表示 -3，然后如果想计算减法 8 - 3，就直接在计算器上输 8 + 9，就可以得到正确结果了！
小亮：bingo！但你忘了一个前提，就是计算器必须只能存 12 个数，它会自动进行取模操作。还有一个事，现在是 8 点，4 小时后呢？
小杨：8 + 4 = 12，12 点！
小亮：咦？你为什么不进行取模了，你看之前还多减了一个 12 呢？为了统一操作，我们每次都进行取模吧，12 - 12 = 0，这样也比较符合取模的含义，这样对 12 取模，意味着我们数的范围就是 0 到 11 了。
小杨：好的，好的，我知道了，我现在只知道了 -3 可以用 9 表示，那我们想算 8 - 5 呢？-5 用多少表示呢？
小亮：你自己拨动下表针看看，5 小时前和几小时后是等价的呢？
小杨：我看看，7 点！算 8 - 5 的话，用 8 + 7 就可以了。好了，其他的我也知道了，来，我给你画张表。
| 0 | -1 | -2 | -3 | -4 | -5 | -6 | -7 | -8 | -9 | -10 | -11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
小亮：哇，你是怎么把这个表列出来的？
小杨：因为是模 12 ，所以 1+ 11 = 0，1 - 1 = 0，所以 -1 用 11 代替，2 + 10 等于 0，2 - 2 = 0，-2 用 10 代替，其他也是这样的。
小亮：棒棒棒，那现在计算会有一个问题的，之前的 8 - 3，8 - 5，结果都是正的，没有问题。那如果，3 - 5 呢？
小杨：3 - 5，-5 对应 7，那就是 3 + 7 等于 10 ，看上边的表格，10 对应 -2，所以答案是 -2！骗子！明明没有问题！
小亮：那你 5 - 3 呢？？？ -3 对应 9，5 + 9 = 2，看下上边的表格，这时候你咋不进行 2 对应 -10 了。
小杨：因为我知道 5 - 3 是正的，3 - 5 是负的，嘻嘻嘻。
小亮：所以这就是问题所在了，既然要让计算器算，它肯定不知道是正的还是负的，所以这样肯定不行的。我们不能把每一个正数都对应一个负数，你看看下边这个表。
| 0 | -1 | -2 | -3 | -4 | -5 | -6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
小杨：3 - 5 和之前一样，-5 对应 7，那就是 3 + 7 等于 10 ，10 对应 -2，然后的话，5 - 3 = 2，-3 对应 9，5 + 9 = 2，2 对应 2，哇！这次没有问题了。
小亮：是的，这次我们只是用一部分正数表示了负数，另一部分保持不变。每一个数都有了一个对应关系，9 不再是 9 了，它其实是 -3。但这有个缺点，给你一个数，你并不能立刻知道它代表几，只能去查表才会知道。
小杨：对呀，我用的计算机能算的数的范围非常大呀，它内部不会也有这样一个表格吧。
小亮：不不不，它实现了一种转换关系，给定一个数立马知道它代表的几。
小杨：那会不会很复杂呀，我想听听。
小亮：其实和那个钟表是一个意思的，计算机里寄存器存的位数是固定的，就像表盘的数是固定的。表盘里，11 点过 1 个小时后，就变成了 0 点，因为是进行的模 12 操作。如果寄存器只能存 4 位数字，那就总共可以表示 16 个数字，那么 15 再加 1 的话就变成了 0，那么怎么实现减法…
小杨：我懂了，一样的道理，用一部分数字来表示负数就可以了!
小亮：聪明！因为计算机里是都是用 2 进制存储的，我们来看看这些数字都长什么样子。
| 0000 0 | 1000 8 |
|---|---|
| 0001 1 | 1001 9 |
| 0010 2 | 1010 10 |
| 0011 3 | 1011 11 |
| 0100 4 | 1100 12 |
| 0101 5 | 1101 13 |
| 0110 6 | 1110 14 |
| 0111 7 | 1111 15 |
小杨：那我来分一下吧！
| 0000 0 | 0001 1 | 0010 2 | 0011 3 | 0100 4 | 0101 5 | 0110 6 | 0111 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 1000 8 | 1001 9 | 1010 10 | 1011 11 | 1100 12 | 1101 13 | 1110 14 | 1111 15 |
| 8 | 9 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 |
让我来算一个减法，7 - 4 = 7 + 12 模 16 = 3！哇，成功了！
小亮：等等，你为什么搞了 8 个正数，只搞了 6 个负数呀。
小杨：因为我喜欢！
小亮：那这样又回到之前的问题了，如果我问 8 代表的正数还是负数？你是不是还是只能查表呀。
小杨：对哦，那该怎么分呀。
小亮：很自然呀，你看上边表格的二进制部分，最高位是不是有的是 0 ，有的是 1，我们把最高位是 1 的正数来表示负数，最高位是 0 的数表示正数，是不是就可以了。
| 0000 0 | 0001 1 | 0010 2 | 0011 3 | 0100 4 | 0101 5 | 0110 6 | 0111 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 1000 8 | 1001 9 | 1010 10 | 1011 11 | 1100 12 | 1101 13 | 1110 14 | 1111 15 |
| -8 | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 |
小杨：对呀，这样的话，给我一个数，我就知道它是负的还是正的了，比如 13，二进制是 1101，开头是 1，那它代表的一定是一个负数。那开始你说可以直接知道它代表的是几，该怎么算呢？
小亮：嗯嗯，你想一想，你得出表格的时候是怎么操作的呢？首先二进制开头是 0 的，它是几就代表几，就不讨论了。负数的话，你为什么用 12 表示 -4 呢？
小杨：因为现在是模 16 的，所以两数和如果是 16 的话，就会变成 0。12 + 4 = 16 = 0，-4 + 4 = 0，所以 12 可以代替 -4。
小亮：所以如果给你一个数，如果是二进制开头是 1，我们先确定它是一个负数，至于是负几，我们直接用 16 减它就够了！如果给你 13，我们看一下二进制是多少，1101，开头是 1 所以它是负数，负几呢？16 - 13 = 3，所以 13 代表 -3，看下上边的表格，是不是对的？
小杨：等等，这个我一直知道呀，之前表盘的时候我就是这样算的呀。16 - 13，我们是为了用加法表示减法，这怎么又出来减法了。
小亮：到了见证奇迹的时候了！让我们用二进制的形式看一下，16 - 13 = 1 0000 - 1101 = （1 + 1111） - 1101 = （1111 - 1101）+ 1 = 0010 + 1 = 0011 = 3。
小杨：哪里奇迹了，1111 - 1101，这不又出现减法了。
小亮：不不不，这步不用减法，只需要把 1101 按位取反就够了，也就是 0010！
小杨：神奇！所以我来总结下，给我们一个数，如果二进制开头是 0，那就不管了，它是几就是几。如果开头是 1，那它代表负数，负几呢？按位取反，再加一就够了！但还有个问题，现在给我一个数我只能它代表几，但反过来，给我一个数，我怎么知道用几去代表它呢？如果给我 -3，我们用多少代表它呢？
小亮：是同样的道理，13 + 3 = 16 = 0，-3 + 3 = 0，所以用 13 代表 -3。所以算的话，还是用 16 去减这个数，所以同样的推导，最后的结论是一样的，按位取反，末位加 1，-3 的话，根据推导我们是用 16 减去的 3，所以用 3 对应的 2 进制 0011，按位取反，1100，末位加一，1101，所以 -3 就用 1101 表示。
小杨：哇，懂了懂了，这样完美的把加法和减法统一了，只不过计算前进行数字的转换就够了。
小亮：对的，其实这就是补码，计算机中所有的整数都用补码存储，这样算减法用加法器就足够了。举个例子，3 的补码是 3 不变，也就是 0011，-4 的补码，4 的二进制按位取反末位加 1，也就是 0100 变成 1011，再加 1 变成 1100，所以算 3 - 4 = 3 + （-4）= 0011 + 1100 = 1111，1111 代表多少呢？首先肯定代表一个负数，然后按位取反末位加 1，就是 0001 了，所以结果就是 -1。
小杨：我明白了，只要学会把一个数转成补码，然后补码再还原就够了，而且两个转换的方法还一样，按位取反，末位加 1，很清晰了。
小亮：让我们回到真正的计算机里， 我们知道 int 一般情况是 4 个字节，也就是 32 位，一样的道理，我们把最高位是 0 的代表正数，最高位是 1 的代表负数，所以最大的正数就是 0111 1111 … 1111 1111，这个数代表多少呢？
小杨：这个我知道，为了方便计算，先把它加 1，变成 1000 0000 … 0000 0000，这个是 $$2^{31}$$，也就是 2147483648，然后减 1，就是 2147483647。
小亮：那最大负数呢？
小杨：最大负数的话，因为 1 开头代表负数，然后其他部分当然越小越好，所以就是 1000 0000 … 0000 0000，那它代表多少呢？直接套用公式，按位取反，末位加一，变成 1000 0000 … 0000 0000，它竟然又变了回来，之前算了这个数是 $$2^{31}$$，也就是 2147483648，所以它代表 -2147483648，咦，怎么感觉负数比正数多了一个，没有对称呀？
小亮：你想一下呀，0 开头的数和 1 开头的数，个数是不是一样的，但是 0 开头的数包括了 0，所以正数就少了一个咯。顺便再问你个问题，最小的负数是 -2147483648，那 -2147483648 - 1 是多少呢？
小杨：-2147483649！！哈哈，开个玩笑，我知道你是问我计算机里边的情况。我来算一下，-2147483648 的补码是 1000 0000 … 0000 0000，-1 的补码是把 1 按位取反末位加 1，就是 1111 1111 … 1111 1111，然后把这两个数加起来就是 0111 1111 … 1111 1111，这不是那个最大的正数吗，所以 -2147483648 - 1 是 2147483647！
小亮：感觉你出师了呀，竟然没中套。这其实也很好理解对不对
| 0000 0 | 0001 1 | 0010 2 | 0011 3 | 0100 4 | 0101 5 | 0110 6 | 0111 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 1000 8 | 1001 9 | 1010 10 | 1011 11 | 1100 12 | 1101 13 | 1110 14 | 1111 15 |
| -8 | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 |
看上边的表格，这个只有 4 位，所以最大的数是 7，最小的数是 -8。上边的 7 后边是 -8 了，所以 -8 减 1，也就是 -8 前边那个数当然就是 7 了。
小杨：其实这个表格化成圆其实更好理解了，就像表盘一样，哈哈。
小亮：对的，总结一下，其实我们利用了寄存器存的位数是有限的，所以它到达最大的数以后会自动置零，相当于完成了取模操作，就像钟表一样，到了 11 点，之后又会从 0 点开始。然后我们再定义用哪些数表示正数，哪些数表示负数，从而完成了加法和减法的统一。并且做到了给一个数知道它的补码表示，知道补码，也可以算出它代表几。
小杨：那计算机设计补码的时候就是这样想的吗？
小亮：这我就不知道了，但可能和我想的一样？哈哈哈。最后留给你一个题，不用乘法除法也不用减法怎么求一个数的相反数呢？ -2147483648 * （-1）等于多少呢？
